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江苏专用2018_2019学年高中数学课时分层作业20导数在实际生活中的应用苏教版选修1_1

发布时间:

课时分层作业(二十) 导数在实际生活中的应用

(建议用时:45 分钟)

[基础达标练]

一、填空题

1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的距离为 s=43t3-2t2,那么速度为 24

的时刻是________秒末.

【导学号:95902250】

【解析】 由题意可得 t≥0,且 s′=4t2-4t,令 s′=24,解得 t=3(t=-2 舍去).

【答案】 3

2.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y

=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件.

【解析】 令 y′=-x2+81=0,解得 x=9 或 x=-9(舍去).f(x)在区间(0,9)内是

增函数,在区间(9,+∞)上是减函数, ∴f(x)在 x=9 处取最大值.

【答案】 9

3.已知某矩形广场面积为 4 万*方米,则其周长至少________米.

【解析】

设广场的长为

x

40 米,则宽为

000 x 米,于是其周长为

y=2???x+40

x000???(x>

0),

所以 y′=2???1-40 x02 00???,令 y′=0, 解得 x=200(x=-200 舍去),这时 y=800.

当 0<x<200 时,y′<0;当 x>200 时,y′>0.

所以当 x=200 时,y 取得最小值,故其周长至少为 800 米.

【答案】 800

4.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm.要使其体积最大,则高为________.

【导学号:95902251】

【解析】 设圆锥的高为 h cm(0<h<20),则圆锥的底面半径 r= 202-h2 = 400-h2

(cm),

V=V(h)=13π r2h=13π (400-h2)h=13π (400h-h3),∴V′=13π (400-3h2),令 V′=13

π (400-3h2)=0,

解得

h=203

3 .

由题意知 V 一定有最大值,而函数只有一个极值点,所以此极值点就是最大值点.

【答案】203 3cm

5.要做一个底面为长方形的带盖的盒子,其体积为 72 cm3,其底面两邻边边长之比为

1∶2,则它的长为________、宽为________、高为________时,可使表面积最小.

【解析】 设底面的长为 2x cm,宽为 x cm,

36 则高为 x2

cm,表面积 S=2×2x·x+2×x·3x62 +2×2x·3x62 =4x2+21x6(x>0),

S′=8x-2x126,由 S′=0,得 x=3,x∈(0,3)时,S′<0,x∈(3,+∞)时,S′>0,

∴x=3 时,S 最小.此时,长为 6 cm,宽为 3 cm,高为 4 cm.

【答案】6 cm3 cm4 cm

6.设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)=?????- lnlnx,x, x>10<x<1, 图象上点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是 ________.

【导学号:95902252】

【解析】

由图象易知 P1,P2 位于 f(x)图象的两段上,不妨设 P1(x1,-ln x1)(0<x1<1),P2(x2,ln x2)(x2>1),
则函数 f(x)的图象在 P1 处的切线 l1 的方程为 y+ln x1=-x11(x-x1), 即 y=-xx1+1-ln x1.① 则函数 f(x)的图象在 P2 处的切线 l2 的方程为 y-ln x2=x12(x-x2),即 y=xx2-1+ln x2.② 由 l1⊥l2,得-x11×x12=-1, ∴x1x2=1. 由切线方程可求得 A(0,1-ln x1),B(0,ln x2-1),

由①②知

l1



l2

交点的横坐标

xP=2-ln1

x1-ln 1

x1+x2

x2=x1+2 x2.

∴S△PAB=12×(1-ln x1-ln x2+1)×x1+2 x2

2

2

=x1+x2=x1+x11.

又∵x1∈(0,1),∴x1+x11>2,

2 ∴0<x1+x11<1,即

0<S△PAB<1.

【答案】 (0,1)

7.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱体的高为________.

【导学号:95902253】

【解析】 设圆柱的高为 2h,则底面圆的半径为 R2-h2,

则圆柱的体积为 V=π (R2-h2)·2h=2π R2h-2π h3,∴V′=2π R2-6π h2.

令 V′=0,解得 h= 33R.

∵h∈???0, 33R???时,V 单调递增,h∈??? 33R,R???时,V 单调递减,

故当 h= 33R 时,即 2h=2 3 3R 时,圆柱体的体积最大.

【答案】2 3 3R 8.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价定为 p 元,销售量为 Q,则销售量 Q(单位:件)与零售价 p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大 毛利润(毛利润=销售收入-进货支出)为________. 【解析】 设毛利润为 L(p),由题意知 L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8 300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000, 所以 L′(p)=-3p2-300p+11 700.令 L′(p)=0,解得 p=30 或 p=-130(舍去). 因为在 p=30 附*的左侧 L′(p)>0,右侧 L′(p)<0, 所以 L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,此时,L(30)=23 000. 即零售价定为每件 30 元时,最大毛利润为 23 000 元. 【答案】 23 000 元

二、解答题 9.某制瓶厂要制造一批轴截面如图 3?4?3 所示的瓶子,瓶子是按照统一规格设计的,瓶 体上部为半球体,下部为圆柱体,并保持圆柱体的容积为 3π .设圆柱体的底面半径为 x,圆 柱体的高为 h,瓶体的表面积为 S.

图 3?4?3

(1)写出 S 关于 x 的函数关系式,并写出定义域;

(2)如何设计瓶子的尺寸(不考虑瓶壁的厚度),可以使表面积 S 最小,并求出最小值.

【导学号:95902254】

【解】 (1)据题意,可知 π x2h=3π ,得 h=x32,

S=12·4π x2+π x2+2π x·x32=3π x2+6πx ,(x>0)

(2)S′=6π x-6xπ2 ,

令 S′=0,得 x=±1,舍负

x

(0,1)

1

(1,+∞)

S′(x)



0



S(x)



极大值 9π



当 x=1 时,S 取得极小值,且是最小值

答:当圆柱的底面半径为 1 时,可使表面积 S 取得最小值 9π . 10.某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月

*均销售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果

表明,如果产品的销售价提高的百分率为 x(0<x<1),那么月*均销售量减少的百分率为 x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月*均利润是 y(元).

(1)写出 y 与 x 的函数关系式;

(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月*均利润最大. 【解】 (1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+x),月*均销售量为 a(1-x2)件, 则月*均利润 y=a(1-x2)[20(1+x)-15]元,所以 y 与 x 的函数关系式为 y=5a(1+4x- x2-4x3)(0<x<1).

(2)由 y′=5a(4-2x-12x2)=0 得 x1=12或 x2=-23(舍),当 0<x<12时,y′>0; 当12<x<1 时,y′<0,所以函数 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1)在 x=12处取得最 大值. 故改进工艺后,产品的销售价为 20???1+12???=30(元)时,旅游部门销售该纪念品的月* 均利润最大.
[能力提升练] 1.用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积 相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的 正方形的边长为________. 【解析】 设四角截去的正方形边长为 x.所以铁盒容积 V=4(24-x)2x,所以 V′=4(24-x)2-8(24-x)x=4(24-x)(24-3x),令 V′=0,得 x=8,即为极大值点 也是最大值点,所以在四角截去的正方形的边长为 8 cm. 【答案】8 cm 2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的*方成正比,比 例系数为 k(k>0).已知贷款的利率为 0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设 存款利率为 x,x∈(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则 x 的取值为________.
【导学号:95902255】 【解析】 依题意,存款量是 kx2,银行支付的利息是 kx3,获得的贷款利息是 0.0486kx2, 其中 x∈(0,0.0486).所以银行的收益是 y=0.0486kx2-kx3(0<x<0.0486),则 y′= 0.0972kx-3kx2. 令 y′=0,得 x=0.0324 或 x=0(舍去). 当 0<x<0.0324 时,y′>0;当 0.0324<x<0.0486 时,y′<0. 所以当 x=0.0324 时,y 取得最大值,即当存款利率为 0.0324 时,银行获得最大收益. 【答案】 0.0324 3.如图 3?4?4,内接于抛物线 y=1-x2 的矩形 ABCD,其中 A,B 在抛物线上运动,C, D 在 x 轴上运动,则此矩形的面积最大值是________.

图 3?4?4

【解析】



CD=x,则点

C

的坐标为???x2,0???,点

B

2

的坐标为???x2,1-???x2???

??. ?

∴矩形 ABCD 的面积 S=f(x)=x·???1-???x2???2???=-x43+x(x∈(0,2)).



f′(x)=-34x2+1=0,得

x1=-

23(舍去),x2=

2 ,∴当 3

x∈???0,

23???时,f′(x)

>0,f(x)是递增的,当 x∈??? 23,2???时,f′(x)<0,f(x)是递减的,

∴当

x=

2 时,f(x)取最大值4 3

9

3.

【答案】4 9 3

4.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向 乙方索赔以弥补经济损失,并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润

x(元)与年产量 t(吨)满足的函数关系是 x=2000 t,乙方每年产一吨产品必须赔付甲方 s

元(以下称 s 为赔付价格).

(1)将乙方的年利润 W(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润时的年

产量;

(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2,在乙方按照获得最大利润的

年产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s

是多少?

【导学号:95902256】

【解】

(1)由题意,得 W=2000

t-st=-s???

t-1s03

2
??? +1s06(t>0),

∴当

t=1s03,即

t=1s026时,W

106 取得最大值,为 s2 ,

106 ∴乙方获得最大利润时的年产量为 s2 吨.

(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下,甲方在索赔中获得的净收 入为 V 元.
∵t=1s026,∴V=st-0.002t2=1s026-2×s4109. V′=-1s026+8×s5109, 令 V′=0,得 s=20,当 s>20 时,V′<0, ∴V 在(20,+∞)上单调递减;当 s<20 时,V′>0, ∴V 在(0,20)上单调递增. ∴当 s=20 时,V 取得极大值,也就是最大值, ∴在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收

入,应向乙方要求的赔付价格 s 是 20 元.



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