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2019—2020年最新人教版八年级数学上《全等三角形》《轴对称》期末复*提优题及解析.doc

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八年级上册数学期末《全等三角形》《轴对称》 复*提优题
一.选择题(共 4 小题) 1.如图,Rt△ACB 中,∠ACB=90°,∠ABC 的角*分线 BE 和∠BAC 的外角*分线 AD 相交 于点 P,分别交 AC 和 BC 的延长线于 E,D.过 P 作 PF⊥AD 交 AC 的延长线于点 H,交 BC 的延长线于点 F,连接 AF 交 DH 于点 G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③ BD﹣AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是( )

A. ①②③

B. ①②④

C.②③④

D. ①②③④

2.如图,将 30°的直角三角尺 ABC 绕直角顶点 A 逆时针旋转到 ADE 的位置,使 B 点的对 应点 D 落在 BC 边上,连接 EB、EC,则下列结论:①∠DAC=∠DCA;②ED 为 AC 的垂直 *分线;③EB *分∠AED;④ED=2AB.其中正确的是( )

A. ①②③

B. ①②④

C.②③④

D. ①②③④

3.如图,Rt△ACB 中,∠ACB=90°,△ABC 的角*分线 AD、BE 相交于点 P,过 P 作 PF⊥ AD 交 BC 的延长线于点 F,交 AC 于点 H,则下列结论:①∠APB=135°;②PF=PA;③ AH+BD=AB;④S 四边形 ABDE= S△ABP,其中正确的是( )

A. ①③

B. ①②④

C.①②③

D. ②③

4.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,∠DAB 与∠ADC 的*分线相交于 BC 边上的 M

点,则下列结论:①∠AMD=90°;②M 为 BC 的中点;③AB+CD=AD;④



⑤M 到 AD 的距离等于 BC 的一半;其中正确的有( )

美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.5 个

二.解答题(共 8 小题) 5.如图 1,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°AC=1 点 D 为 AC 上一动点,连接 BD, 以 BD 为边作等边△BDE,EA 的延长线交 BC 的延长线于 F,设 CD=n, (1)当 n=1 时,则 AF= _________ ; (2)当 0<n<1 时,如图 2,在 BA 上截取 BH=AD,连接 EH,求证:△AEH 为等边三角 形.

6.两个等腰直角△ABC 和等腰直角△DCE 如图 1 摆放,其中 D 点在 AB 上,连接 BE. (1)则 = _________ ,∠CBE= _________ 度; (2)当把△DEF 绕点 C 旋转到如图 2 所示的位置时(D 点在 BC 上),连接 AD 并延长交 BE 于点 F,连接 FC,则 = _________ ,∠CFE= _________ 度;
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

( 3 ) 把 △ DEC 绕 点 C 旋 转 到 如 图 3 所 示 的 位 置 时 , 请 求 出 ∠ CFE 的 度 数
_________ . 7.已知△ABC 为边长为 10 的等边三角形,D 是 BC 边上一动点:
①如图 1,点 E 在 AC 上,且 BD=CE,BE 交 AD 于 F,当 D 点滑动时,∠AFE 的大小是否 变化?若不变,请求出其度数. ②如图 2,过点 D 作∠ADG=60°与∠ACB 的外角*分线交于 G,当点 D 在 BC 上滑动时,有 下列两个结论:①DC+CG 的值为定值;②DG﹣CD 的值为定值.其中有且只有一个是正确 的,请你选择正确的结论加以证明并求出其值. 8.如图,点 A、C 分别在一个含 45°的直角三角板 HBE 的两条直角边 BH 和 BE 上,且 BA=BC, 过点 C 作 BE 的垂线 CD,过 E 点作 EF 上 AE 交∠DCE 的角*分线于 F 点,交 HE 于 P. (1)试判断△PCE 的形状,并请说明理由; (2)若∠HAE=120°,AB=3,求 EF 的长.
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

9.如图,AD 是△ABC 的角*分线,H,G 分别在 AC,AB 上,且 HD=BD. (1)求证:∠B 与∠AHD 互补; (2)若∠B+2∠DGA=180°,请探究线段 AG 与线段 AH、HD 之间满足的等量关系,并加以 证明.
10.如图,在等腰 Rt△ABC 与等腰 Rt△DBE 中,∠BDE=∠ACB=90°,且 BE 在 AB 边上, 取 AE 的中点 F,CD 的中点 G,连接 GF. (1)FG 与 DC 的位置关系是 _________ ,FG 与 DC 的数量关系是 _________ ; (2)若将△BDE 绕 B 点逆时针旋转 180°,其它条件不变,请完成下图,并判断(1)中的 结论是否仍然成立?请证明你的结论.
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

11.如图 1,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以 AB、AC 为直角边,向 △ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF,过点 E、F 作射线 GA 的垂线,垂足分别为 P、 Q. (1)试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. (2)若连接 EF 交 GA 的延长线于 H,由(1)中的结论你能判断并证明 EH 与 FH 的大小 关系吗? (3)图 2 中的△ABC 与△AEF 的面积相等吗?(不用证明)
12.已知如图 1:△ABC 中,AB=AC,∠B、∠C 的*分线相交于点 O,过点 O 作 EF∥BC 交 AB、AC 于 E、F. ①图中有几个等腰三角形?请说明 EF 与 BE、CF 间有怎样的关系.
②若 AB≠AC,其他条件不变,如图 2,图中还有等腰三角形吗?如果有,请分别指出它们.另 第①问中 EF 与 BE、CF 间的关系还存在吗?
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

③若△ABC 中,∠B 的*分线与三角形外角∠ACD 的*分线 CO 交于 O,过 O 点作 OE∥BC 交 AB 于 E,交 AC 于 F.如图 3,这时图中还有哪几个等腰三角形?EF 与 BE、CF 间的关 系如何?为什么?
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

参考答案与试题解析
一.选择题(共 4 小题) 1.如图,Rt△ACB 中,∠ACB=90°,∠ABC 的角*分线 BE 和∠BAC 的外角*分线 AD 相交 于点 P,分别交 AC 和 BC 的延长线于 E,D.过 P 作 PF⊥AD 交 AC 的延长线于点 H,交 BC 的延长线于点 F,连接 AF 交 DH 于点 G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③ BD﹣AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是( )

A. ①②③

B. ①②④

C.②③④

D. ①②③④

考点: 直角三角形的性质;角*分线的定义;垂线;全等三角形的判定与性质. 4387773
专题: 推理填空题. 分析: ①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角*分线的定义表示出∠CAP,再根据角*分
的定义∠ABP= ∠ABC,然后利用三角形的内角和定理整理即可得解; ②③先根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP,然后利用角角边证明△AHP 与△FDP 全等,根据全等三角形对 边相等可得 DF=AH,对应角相等可得∠PFD=∠HAP,然后利用*角的关系求出∠BAP=∠BFP,再利用角 边证明△ABP 与△FBP 全等,然后根据全等三角形对应边相等得到 AB=BF,从而得解;

美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

④根据 PF⊥AD,∠ACB=90°,可得 AG⊥DH,然后求出∠ADG=∠DAG=45°,再根据等角对等边可得 DG=A 再根据等腰直角三角形两腰相等可得 GH=GF,然后求出 DG=GH+AF,有直角三角形斜边大于直角边, >AP,从而得出本小题错误. 解答: 解:①∵∠ABC 的角*分线 BE 和∠BAC 的外角*分线, ∴∠ABP= ∠ABC, ∠CAP= (90°+∠ABC)=45°+ ∠ABC, 在△ABP 中,∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP, =180°﹣(45°+ ∠ABC+90°﹣∠ABC)﹣ ∠ABC, =180°﹣45°﹣ ∠ABC﹣90°+∠ABC﹣ ∠ABC, =45°,故本小题正确; ②③∵∠ACB=90°,PF⊥AD, ∴∠FDP+∠HAP=90°,∠AHP+∠HAP=90°, ∴∠AHP=∠FDP, ∵PF⊥AD, ∴∠APH=∠FPD=90°,

在△AHP 与△FDP 中,



∴△AHP≌△FDP(AAS), ∴DF=AH, ∵AD 为∠BAC 的外角*分线,∠PFD=∠HAP, ∴∠PAE+∠BAP=180°, 又∵∠PFD+∠BFP=180°,

美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

∴∠PAE=∠PFD, ∵∠ABC 的角*分线, ∴∠ABP=∠FBP,

在△ABP 与△FBP 中,



∴△ABP≌△FBP(AAS), ∴AB=BF,AP=PF 故②小题正确; ∵BD=DF+BF, ∴BD=AH+AB, ∴BD﹣AH=AB,故③小题正确; ④∵PF⊥AD,∠ACB=90°, ∴AG⊥DH, ∵AP=PF,PF⊥AD, ∴∠PAF=45°, ∴∠ADG=∠DAG=45°, ∴DG=AG, ∵∠PAF=45°,AG⊥DH, ∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形, ∴DG=AG,GH=GF, ∴DG=GH+AF, ∵AF>AP, ∴DG=AP+GH 不成立,故本小题错误,

美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

综上所述①②③正确. 故选 A. 点评: 本题考查了直角三角形的性质,全等三角形的判定,以及等腰直角三角形的判定与性质,等角对等边, 边对等角的性质,综合性较强,难度较大,做题时要分清角的关系与边的关系.
2.如图,将 30°的直角三角尺 ABC 绕直角顶点 A 逆时针旋转到 ADE 的位置,使 B 点的对 应点 D 落在 BC 边上,连接 EB、EC,则下列结论:①∠DAC=∠DCA;②ED 为 AC 的垂直 *分线;③EB *分∠AED;④ED=2AB.其中正确的是( )

A. ①②③

B. ①②④

C.②③④

D. ①②③④

考点: 旋转的性质;含 30 度角的直角三角形. 4387773
分析: 根据直角三角形中 30°的角所对的直角边等于斜边的一半,以及旋转的性质即可判断. 解答: 解:①根据旋转的性质可以得到:AB=AD,而∠ABD=60°,则△ABD 是等边三角形,可得到∠DAC=30°
∠DAC=∠DCA,故正确; ②根据①可得 AD=CD,并且根据旋转的性质可得:AC=AE,∠EAC=60°,则△ACE 是等边三角形,则 EA=E 即 D、E 都到 AC 两端的距离相等,则 DE 在 AC 的垂直*分线上,故正确; ③根据条件 AB∥DE,而 AB≠AE,即可证得 EB *分∠AED 不正确,故错误; ④根据旋转的性质,DE=BC,而 BC=2AB,即可证得 ED=2AB,故正确;

美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

故正确的是:①②④.故选 B. 点评: 正确理解旋转的性质,图形旋转前后两个图形全等是解决本题的关键.
3.如图,Rt△ACB 中,∠ACB=90°,△ABC 的角*分线 AD、BE 相交于点 P,过 P 作 PF⊥ AD 交 BC 的延长线于点 F,交 AC 于点 H,则下列结论:①∠APB=135°;②PF=PA;③ AH+BD=AB;④S 四边形 ABDE= S△ABP,其中正确的是( )

A. ①③

B. ①②④

C.①②③

D. ②③

考点: 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质. 4387773
分析: 根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断. 解答: 解:在△ABC 中,AD、BE 分别*分∠BAC、∠ABC,
∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°, 又∵AD、BE 分别*分∠BAC、∠ABC, ∴∠BAD+∠ABE= (∠A+∠B)=45°, ∴∠APB=135°,故①正确.

∴∠BPD=45°,

美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

又∵PF⊥AD, ∴∠FPB=90°+45°=135°, ∴∠APB=∠FPB, 又∵∠ABP=∠FBP, BP=BP, ∴△ABP≌△FBP, ∴∠BAP=∠BFP,AB=FB,PA=PF,故②正确.

在△APH 和△FPD 中,

∵∠APH=∠FPD=90°,

∠PAH=∠BAP=∠BFP,

PA=PF,

∴△APH≌△FPD,

∴AH=FD,

又∵AB=FB,

∴AB=FD+BD=AH+BD.故③正确.

∵△ABP≌△FBP,△APH≌△FPD,

∴S 四边形 ABDE=S△ABP+S△BDP+S△APH﹣S△EOH+S△DOP=S△ABP+S△ABP﹣S△EOH+S△DOP=2S△ABP﹣S△EOH+

DOP



故选 C.

美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

点评: 本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角 应相等时,角必须是两边的夹角.

4.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,∠DAB 与∠ADC 的*分线相交于 BC 边上的 M

点,则下列结论:①∠AMD=90°;②M 为 BC 的中点;③AB+CD=AD;④



⑤M 到 AD 的距离等于 BC 的一半;其中正确的有( )

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.5 个

考点: 全等三角形的判定与性质;角*分线的性质. 4387773
分析: 过 M 作 ME⊥AD 于 E,得出∠MDE= ∠CDA,∠MAD= ∠BAD,求出∠MDA+∠MAD= (∠CDA+∠BAD)=9

美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

根据三角形内角和定理求出∠AMD,即可判断①;根据角*分线性质求出 MC=ME,ME=MB,即可判断 和⑤;由勾股定理求出 DC=DE,AB=AE,即可判断③;根据 SSS 证△DEM≌△DCM,推出 S 三角形 DEM 三角形 DCM,同理得出 S 三角形 AEM=S 三角形 ABM,即可判断④. 解答:
解: 过 M 作 ME⊥AD 于 E, ∵∠DAB 与∠ADC 的*分线相交于 BC 边上的 M 点, ∴∠MDE= ∠CDA,∠MAD= ∠BAD, ∵DC∥AB, ∴∠CDA+∠BAD=180°, ∴∠MDA+∠MAD= (∠CDA+∠BAD)= ×180°=90°, ∴∠AMD=180°﹣90°=90°,∴①正确; ∵DM *分∠CDE,∠C=90°(MC⊥DC),ME⊥DA, ∴MC=ME, 同理 ME=MB, ∴MC=MB=ME= BC,∴②正确; ∴M 到 AD 的距离等于 BC 的一半,∴⑤正确; ∵由勾股定理得:DC2=MD2﹣MC2,DE2=MD2﹣ME2, 又∵ME=MC,MD=MD,
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

∴DC=DE, 同理 AB=AE, ∴AD=AE+DE=AB+DC,∴③正确; ∵在△DEM 和△DCM 中
, ∴△DEM≌△DCM(SSS), ∴S 三角形 DEM=S 三角形 DCM 同理 S 三角形 AEM=S 三角形 ABM, ∴S 三角形 AMD= S 梯形 ABCD,∴④正确; 故选 D. 点评: 本题考查了角*分线性质,垂直定义,直角梯形,勾股定理,全等三角形的性质和判定等知识点的应用 主要考查学生运用定理进行推理的能力.
二.解答题(共 8 小题) 5.如图 1,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°AC=1 点 D 为 AC 上一动点,连接 BD, 以 BD 为边作等边△BDE,EA 的延长线交 BC 的延长线于 F,设 CD=n, (1)当 n=1 时,则 AF= 2 ; (2)当 0<n<1 时,如图 2,在 BA 上截取 BH=AD,连接 EH,求证:△AEH 为等边三角 形.
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

考点: 含 30 度角的直角三角形;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 4387773
专题: 动点型. 分析: (1)根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°,再根据*角等于 180°求出∠FAC=60°,然后求出∠F=30°,
据 30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可; (2)根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD 表示出∠ADE=30°+∠CBD, ∠HBE=30°+∠CBD,从而得到∠ADE=∠HBE,然后根据边角边证明△ADE 与△HBE 全等,根据全等三角形 应边相等可得 AE=HE,对应角相等可得∠AED=∠HEB,然后推出∠AEH=∠BED=60°,再根据等边三角形 判定即可证明. 解答: (1)解:∵△BDE 是等边三角形, ∴∠EDB=60°, ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°, ∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°, ∴FAC=180°﹣60°﹣60°=60°, ∴∠F=180°﹣90°﹣60°=30°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACF=180°﹣90°,
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

∴AF=2AC=2×1=2;
(2)证明:∵△BDE 是等边三角形, ∴BE=BD,∠EDB=∠EBD=60°, 在△BCD 中,∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C, 即∠ADE+60°=∠CBD+90°, ∴∠ADE=30°+∠CBD, ∵∠HBE+∠ABD=60°,∠CBD+∠ABD=30°, ∴∠HBE=30°+∠CBD, ∴∠ADE=∠HBE, 在△ADE 与△HBE 中,
, ∴△ADE≌△HBE(SAS), ∴AE=HE,∠AED=∠HEB, ∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB, 即∠AEH=∠BED=60°, ∴△AEH 为等边三角形. 点评: 本题考查了 30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质与 定,以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,(2)中求出 ∠ADE=∠HBE 是解题的关键.
6.两个等腰直角△ABC 和等腰直角△DCE 如图 1 摆放,其中 D 点在 AB 上,连接 BE.
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

(1)则 = 1 ,∠CBE= 45 度; (2)当把△DEF 绕点 C 旋转到如图 2 所示的位置时(D 点在 BC 上),连接 AD 并延长交 BE 于点 F,连接 FC,则 = 1 ,∠CFE= 45 度; ( 3 ) 把 △ DEC 绕 点 C 旋 转 到 如 图 3 所 示 的 位 置 时 , 请 求 出 ∠ CFE 的 度 数
135° .
考点: 圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;确定圆的条件. 4387773
分析: (1)先证明∠ACD=∠BCE,再根据边角边定理证明△ACD≌△BCE,然后根据全等三角形对应边相等和对 角相等解答; (2)根据(1)的思路证明△ACD 和△BCE 全等,再根据全等三角形对应边相等得 BE=AD,对应角相等 ∠DAC=∠DBF,又 AC⊥CD,所以 AF⊥BF,从而可以得到 C、E、F、D 四点共圆,根据同弧所对的圆周 相等即可求出∠CFE=∠CDE=45°; (3)同(2)的思路,证明 C、F、D、E 四点共圆,得出∠CFD=∠CED=45°,而∠DEF=90°,所以∠C 的度数即可求出.
解答: 解:(1)∵△ABC 和△DCE 是等腰三角形, ∴AC=BC,CD=CE, ∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD, 即∠ACD=∠BCE,
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

在△ACD 和△BCE 中,



∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴BE=AD,∠CBE=∠CAD=45°, 因此 =1,∠CBE=45°;

(2)同(1)可得 BE=AD, ∴ =1, ∠CBE=∠CAD; 又∵∠ACD=90°,∠ADC=∠BDF, ∴∠BFD=∠ACD=90°; 又∵∠DCE=90°, ∴C、E、F、D 四点共圆, ∴∠CFE=∠CDE=45°;
(3)同(2)可得∠BFA=90°, ∴∠DFE=90°; 又∵∠DCE=90°, ∴C、F、D、E 四点共圆, ∴∠CFD=∠CED=45°, ∴∠CFE=∠CFD+∠DFE =45°+90°

美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

=135°. 点评: 本题综合考查了等边对等角的性质,三角形全等的判定和全等三角形的性质,四点共圆以及同弧所对的
周角相等的性质,需要熟练掌握并灵活运用.
7.已知△ABC 为边长为 10 的等边三角形,D 是 BC 边上一动点:
①如图 1,点 E 在 AC 上,且 BD=CE,BE 交 AD 于 F,当 D 点滑动时,∠AFE 的大小是否 变化?若不变,请求出其度数. ②如图 2,过点 D 作∠ADG=60°与∠ACB 的外角*分线交于 G,当点 D 在 BC 上滑动时,有 下列两个结论:①DC+CG 的值为定值;②DG﹣CD 的值为定值.其中有且只有一个是正确 的,请你选择正确的结论加以证明并求出其值.
考点: 等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质. 4387773
专题: 探究型. 分析: ①∠AFE 的大小不变,其度数为 60°,理由如下:由三角形 ABC 为等边三角形,得到三条边相等,三个
角相等,都为 60°,可得出 AB=BC,∠ABD=∠C,再由 BD=CE,利用 SAS 可得出三角形 ABD 与三角 BCE 全等,根据全等三角形的对应角相等可得出∠BAD=∠CBE,在三角形 ABD 中,由∠ABD 为 60°,得 ∠BAD+∠ADB 的度数,等量代换可得出∠CBE+∠ADB 的度数,利用三角形的内角和定理求出∠BFD 的度 根据对应角相等可得出∠AFE=∠BFD,可得出∠AFE 的度数不变;
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

②连接 AG,如图所示,由三角形 ABC 为等边三角形,得出三条边相等,三个内角都相等,都为 60°, 由 CG 为外角*分线,得出∠ACG 也为 60°,由∠ADG 为 60°,可得出 A,D,C,G 四点共圆,根据圆 接四边形的对角互补可得出∠DAG 与∠DCG 互补,而∠DCG 为 120°,可得出∠DAG 为 60°,根据∠BAD DAC=∠DAC+∠CAG=60°,利用等式的性质得到∠BAD=∠CAG,利用 ASA 可证明三角形 ABD 与三角形 A 全等,利用全等三角形的对应边相等可得出 BD=CG,由 BC=BD+DC,等量代换可得出 CG+CD=BC, BC=10,即可得到 DC+CG 为定值 10,得证. 解答: 解:①∠AFE 的大小不变,其度数为 60°,理由为: ∵△ABC 为等边三角形, ∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°, 在△ABD 和△BCE 中,
, ∴△ABD≌△BCE(SAS), ∴∠BAD=∠CBE, 又∠BAD+∠ADB=120°, ∴∠CBE+∠ADB=120°, ∴∠BFD=60°, 则∠AFE=∠BFD=60°; ②正确的结论为:DC+CG 的值为定值,理由如下: 连接 AG,如图 2 所示:
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

∵△ABC 为等边三角形, ∴AB=BC=AC,∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°, 又 CG 为∠ACB 的外角*分线, ∴∠ACG=60°, 又∵∠ADG=60°, ∴∠ADG=∠ACG,即 A,D,C,G 四点共圆, ∴∠DAG+∠DCG=180°,又∠DCG=120°, ∴∠DAG=60°,即∠DAC+∠CAG=60°, 又∵∠BAD+∠DAC=60°, ∴∠BAD=∠GAC, 在△ABD 和△ACG 中,





∴△ABD≌△ACG(ASA), ∴DB=GC,又 BC=10, 则 BC=BD+DC=DC+CG=10,即 DC+CG 的值为定值. 点评: 此题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,四点共圆的条件,以及圆内接四边形 性质,利用了等量代换及转化的思想,熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键.

美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

8.如图,点 A、C 分别在一个含 45°的直角三角板 HBE 的两条直角边 BH 和 BE 上,且 BA=BC, 过点 C 作 BE 的垂线 CD,过 E 点作 EF 上 AE 交∠DCE 的角*分线于 F 点,交 HE 于 P. (1)试判断△PCE 的形状,并请说明理由; (2)若∠HAE=120°,AB=3,求 EF 的长.
考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 4387773
专题: 计算题;证明题. 分析: (1)根据∠PCE= ∠DCE= ×90°=45°,求证∠CPE=90°,然后即可判断三角形的形状.
(2)根据∠HEB=∠H=45°得 HB=BE,再根据 BA=BC 和∠HAE=120°,利用 ASA 求证△HAE≌△CEF, AE=EF,又因为 AE=2AB.然后即可求得 EF. 解答: 解:(1)△PCE 是等腰直角三角形, 理由如下: ∵∠PCE= ∠DCE= ×90°=45° ∠PEC=45° ∴∠PCE=∠PEC ∠CPE=90° ∴△PCE 是等腰直角三角形 h(2)∵∠HEB=∠H=45°
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

∴HB=BE ∵BA=BC ∴AH=CE 而∠HAE=120° ∴∠BAE=60°,∠AEB=30° 又∵∠AEF=90° ∴∠CEF=120°=∠HAE 而∠H=∠FCE=45° ∴△HAE≌△CEF(ASA) ∴AE=EF 又∵AE=2AB=2×3=6 ∴EF=6 点评: 此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形等知识点的理解和掌握,解答(2)的关 是利用 ASA 求证△HAE≌△CEF,此题有一定的拔高难度,属于中档题.
9.如图,AD 是△ABC 的角*分线,H,G 分别在 AC,AB 上,且 HD=BD. (1)求证:∠B 与∠AHD 互补; (2)若∠B+2∠DGA=180°,请探究线段 AG 与线段 AH、HD 之间满足的等量关系,并加以 证明.
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

考点: 全等三角形的判定与性质. 438777 3
专题: 证明题. 分析: (1)在 AB 上取一点 M,使得 AM=AH,连接 DM,则利用 SAS 可得出△AHD≌△AMD,从而得出 HD=MD=D
即有∠DMB=∠B,通过这样的转化可证明∠B 与∠AHD 互补. (2)由(1)的结论中得出的∠AHD=∠AMD,结合三角形的外角可得出∠DGM=∠GDM,可将 HD 转化 MG,从而在线段 AG 上可解决问题. 解答: 证明:(1)在 AB 上取一点 M,使得 AM=AH,连接 DM,





∴△AHD≌△AMD, ∴HD=MD,∠AHD=∠AMD, ∵HD=DB, ∴DB=MD, ∴∠DMB=∠B, ∵∠AMD+∠DMB=180°, ∴∠AHD+∠B=180°, 即∠B 与∠AHD 互补.

(2)由(1)∠AHD=∠AMD,HD=MD,∠AHD+∠B=180°, ∵∠B+2∠DGA=180°,∠AHD=2∠DGA, ∴∠AMD=2∠DGM,

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又∵∠AMD=∠DGM+∠GDM, ∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM,即∠DGM=∠GDM, ∴MD=MG, ∴HD=MG, ∵AG=AM+MG, ∴AG=AH+HD.
点评: 本题考查了全等三角形的判定及性质,结合了等腰三角形的知识,解决这两问的关键都是通过全等图形 对应边相等、对应角相等,将题目涉及的角或边进行转化.
10.如图,在等腰 Rt△ABC 与等腰 Rt△DBE 中,∠BDE=∠ACB=90°,且 BE 在 AB 边上, 取 AE 的中点 F,CD 的中点 G,连接 GF. (1)FG 与 DC 的位置关系是 FG⊥CD ,FG 与 DC 的数量关系是 FG= CD ; (2)若将△BDE 绕 B 点逆时针旋转 180°,其它条件不变,请完成下图,并判断(1)中的 结论是否仍然成立?请证明你的结论.
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考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 4387773
专题: 探究型. 分析: (1)证 FG 和 CD 的大小和位置关系,我们已知了 G 是 CD 的中点,猜想应该是 FG⊥CD,FG= CD.
通过构建三角形连接 FD,FC,证三角形 DFC 是等腰直角三角形来得出上述结论,可通过全等三角形来 明;延长 DE 交 AC 于 M,连接 FM,证明三角形 DEF 和 FMC 全等即可.我们发现 BDMC 是个矩形, 此 BD=CM=DE.由于三角形 DEB 和 ABC 都是等腰直角三角形,∠BED=∠A=45°,因此∠AEM=∠A=45 这样我们得出三角形 AEM 是个等腰直角三角形,F 是斜边 AE 的中点,因此 MF=EF,∠AMF=∠BED=4 那么这两个角的补角也应当相等,由此可得出∠DEF=∠FMC,这样就构成了三角形 DEF 和 CMF 的全等 所有条件,可得到 DF=FC,即三角形 DFC 是等腰三角形,下面证直角.根据两三角形全等,我们还能 出∠MFC=∠DFE,我们知道∠MFC+∠CFE=90°,因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°,这样就得出三角形 DFC 等腰直角三角形了,也就能得出 FG⊥CD,FG= CD 的结论了. (2)和(1)的证法完全一样. 解答: 解:(1)FG⊥CD,FG= CD.
(2)延长 ED 交 AC 的延长线于 M,连接 FC、FD、FM, ∴四边形 BCMD 是矩形. ∴CM=BD. 又△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形, ∴ED=BD=CM. ∵∠AEM=∠A=45°, ∴△AEM 是等腰直角三角形. 又 F 是 AE 的中点,
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∴MF⊥AE,EF=MF,∠EDF=∠MCF. ∵在△EFD 和△MFC 中
, ∴△EFD≌△MFC. ∴FD=FC,∠EFD=∠MFC. 又∠EFD+∠DFM=90°, ∴∠MFC+∠DFM=90°. 即△CDF 是等腰直角三角形, 又 G 是 CD 的中点, ∴FG= CD,FG⊥CD.
点评: 本题中通过构建全等三角形来证明线段和角相等是解题的关键.
11.如图 1,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以 AB、AC 为直角边,向 △ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF,过点 E、F 作射线 GA 的垂线,垂足分别为 P、 Q. (1)试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. (2)若连接 EF 交 GA 的延长线于 H,由(1)中的结论你能判断并证明 EH 与 FH 的大小 关系吗?
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(3)图 2 中的△ABC 与△AEF 的面积相等吗?(不用证明)
考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 4387773
分析: (1)根据全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP,进而求出 AG=EP.同理 AG=FQ,即 EP=FQ. (2)过点 E 作 EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为 P、Q.根据全等三角形的判定和性质即可解题. (3)由(1)、(2)中的全等三角形可以推知△ABC 与△AEF 的面积相等.
解答: 解:(1)EP=FQ,理由如下: 如图 1,∵Rt△ABE 是等腰三角形, ∴EA=BA. ∵∠PEA+∠PAE=90°, ∠PAE+∠BAG=90°, ∴∠PEA=∠BAG 在△EAP 与△ABG 中, , ∴△EAP≌△ABG(AAS), ∴EP=AG. 同理 AG=FQ.
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

∴EP=FQ.

(2)如图 2,HE=HF. 理由:过点 E 作 EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为 P、Q. 由(1)知 EP=FQ. 在△EPH 与△FQH 中,





∴△EPH≌△FQH(AAS). ∴HE=HF;

(3)相等.理由如下: 由(1)知,△ABG≌△EAP,△FQA≌△AGC,则 S△ABG=S△EAP,S△FQA=S△AGC. 由(2)知,△EPH≌△FQH,则 S△EPH=S△FQH, 所以 S△ABC=S△ABG+S△AGC=S△EAP﹣S△EPH+S△FQA﹣S△FQH=S△EAP+S△FQA=S△AEF,即 S△ABC=S△AEF. 故图 2 中的△ABC 与△AEF 的面积相等.

点评: 本题考查了全等三角形的证明,考查了全等三角形对应边相等的性质,考查了三角形内角和为 180°的性 考查了等腰三角形腰长相等的性质,本题中求证△AFQ≌△CAG 是解题的关键.
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12.已知如图 1:△ABC 中,AB=AC,∠B、∠C 的*分线相交于点 O,过点 O 作 EF∥BC 交 AB、AC 于 E、F. ①图中有几个等腰三角形?请说明 EF 与 BE、CF 间有怎样的关系.
②若 AB≠AC,其他条件不变,如图 2,图中还有等腰三角形吗?如果有,请分别指出它们.另 第①问中 EF 与 BE、CF 间的关系还存在吗? ③若△ABC 中,∠B 的*分线与三角形外角∠ACD 的*分线 CO 交于 O,过 O 点作 OE∥BC 交 AB 于 E,交 AC 于 F.如图 3,这时图中还有哪几个等腰三角形?EF 与 BE、CF 间的关 系如何?为什么?
考点: 等腰三角形的判定与性质;*行线的性质. 4387773
专题: 计算题;证明题. 分析: (1)根据 EF∥BC,∠B、∠C 的*分线交于 O 点,可得∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∠EOB=∠OBE,∠FC
∠FOC,再加上题目中给出的 AB=AC,共 5 个等腰三角形;根据等腰三角形的性质,即可得出 EF 与 B
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

CF 间有怎样的关系. (2)根据 EF∥BC 和∠B、∠C 的*分线交于 O 点,还可以证明出△OBE 和△OCF 是等腰三角形;利用几 等腰三角形的性质即可得出 EF 与 BE,CF 的关系. (3)EO∥BC 和 OB,OC 分别是∠ABC 与∠ACL 的角*分线,还可以证明出△BEO 和△CFO 是等腰三角 解答: 解:(1)有 5 个等腰三角形,EF 与 BE、CF 间有怎样的关系是:EF=BE+CF=2BE=2CF.理由如下: ∵EF∥BC, ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB, 又∠B、∠C 的*分线交于 O 点, ∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB, ∴∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC, ∴OE=BE,OF=CF, ∴EF=OE+OF=BE+CF. 又 AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC, ∴EF=BE+CF=2BE=2CF;
(2)有 2 个等腰三角形分别是:等腰△OBE 和等腰△OCF; 第一问中的 EF 与 BE,CF 的关系是:EF=BE+CF.
(3)有,还是有 2 个等腰三角形,△EBO,△OCF,EF=BE﹣CF,理由如下: ∵EO∥BC,
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。

∴∠EOB=∠OBC,∠EOC=∠OCG(G 是 BC 延长线上的一点) 又∵OB,OC 分别是∠ABC 与∠ACG 的角*分线 ∴∠EBO=∠OBC,∠ACO=∠OCG, ∴∠EOB=∠EBO, ∴BE=OE, ∠FCO=∠FOC, ∴CF=FO, 又∵EO=EF+FO, ∴EF=BE﹣CF.
点评: 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和*行线性质的理解和掌握,此题难度并不大,但是步骤 琐,属于中档题,还有第(1)中容易忽略△ABC 也是等腰三角形,因此这又是一道易错题.要求学生在 明此题时一定要仔细,认真.
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