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(2+1)维可换左超对称代数_论文

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第 2 6卷  2 O l   3年 6』 l   j 2坩   聊 城 大  ( 自然 科 学 版 )   VO 1 . 2 6   No . 2   J O t l   r I 1 f l l   u f   I   1 . 1 o c h ㈣   UnNe r s hY ( Na t . S c i)   J   L I I I . 2 0 l   3   ( 2 +1 ) 维 可换 左 超对 称 代数  李可峰   张欣馨   ( 济南大学 数学科学学院 , 山东 济 南 2 5 0 0 2 2 )   摘  要  左 对称代 数是 非 结合代 数 的主要 结 构之 一 , 它和 李 代数 具有 相 邻接 的关 系.借 鉴 李代  数 与 李超代 数 的关 系, 王 宪栋博 士将左 对称代 数结 构 自然推 广为 左超对称 代数 , 给 出 自由左超 对  称 代数 及普 遍 包络左 超对称 代数 的概念 . 对 于左超 对称代数 的分 类和表 示 目前 才是起 步 阶段 , 我  们 将 讨论 ( 2 +1 ) 维 可换左超 对称 代数 的结构 系数 , 并 证 明非 结合 的( 2 +1 ) 维 可换 左超 对称 代 数  不存 在.   关 键 词  可 换 , 左超 对称代 数 , 结 构 系数 , 分 类  中图 分类 号 O 1 5 2 . 5   文献标识 码 A  文 章编号 1 6 7 2 — 6 6 3 4 ( 2 0 1 3 ) 0 2 — 0 0 4 6 — 0 3   0   引 言  在R i e ma n n几何 中联 络的讨 论和李 群 的表示 理 论 中, 可 迁 仿射 表 示理 论 是一 重 要课 题 , 它 又 和李 代  数 的左对 * 构密 切相关 , 关 于左对 称代 数及李 代数 上 的左 对 称代 数结 构 的 内容成 为 目前 的活 跃研 究 方  向之 一. 而左超 对称 代数是 左对 称代 数 的一 个 自然推广Ⅲ .若 在李代 数上存 在 可逆 的 导子 , 则 李 代 数就 存  在一 个左 对称 结构 E z - s - , 并且 对 于某 些李 超代 数提 出了存在 左超对 *峁 的充 分必要 条 件E   , 但 是 关 于李  超代 数上 的左 超对 称代 数大 量性质 、 结构 、 分类 等相关 结 1构还 是 很少 , 特别 是 关 于具 体李 超 代 数 上 的左  超对 称代 数 , 左超对 称 结构 , 所 以仍 有很 大 的研 究空 间[ 7 ] .   左超 对称 代数 是在 左对 称代数 基础 上 添加  。阶化 实现 的一类 代 数结 构 , 它 同 与其 相 链 接 的 李超 代  数有 着密 切 的关 系.决 定低 维 的左超对 称代数 的系 数关 系 与分 类 , 对 于研 究左 超 对 称代 数 有着 重 要 的 意  义E  .   定义 1 [ 7 ]   A—A  0A y为超代 数 , 若 AA的任 意次元 X, Y , z满足  ( z  ) z — z(   ) 一( 一1 )   ‘  ( (  z) z — y( x z ) ) ,   ∈A  , Y∈A  ,   ∈A ,   ( 1 )   则 称 A 为 左超 代数 , 显然 A  本身 是左对 称代 数.   设{ z 。 ) (   一1 , …, ” ) 为代数A的一齐次生成元集, X I . Z :   一∑ n   z t , 则( n   (   ,   , 是 一1 , …,   ) 为结构常   ^ ; l   数 集.   推论   设{ z   } (   一1 , …,   ) 为超代数A的一齐次生成元集, 满足X i Z C   一∑ 。   , A   一{ 。   } 为其结  l一 1   构 常数 集 , 则 A 为左超 对称 代数 当且仅 当 A 一 { 。  ) 为其 结构 常数集 , 则 A 为左超对 称代 数 当且 仅 当 A   满足 ∑ ( a k   “ r n   一   k “   m ) 一( 一1 )  , ∑( 口   k n   m —  n 五 ) .   白承 铭在 《 约化 L i e 群 表示 论 , 图解法及 其 与 L i e 群相 关 的几 何 和代数结 构 》 中给 出 2维 可换 左对 称  收 稿 日期 : 2 O l   3   0 l   l 0   基金 项 目 :山东 省 自然 科 学 基 金 : 重 复代 数 的 同 凋性 质 和 高 维 丛 范 畴 ( Z R 2 0 1 1 AI   0 l 5 )   通讯 作者 : 李可峰 ,  一 l i k f @u j n . e d U . c n .   第 2期  李 可 峰等 : ( 2 +1 ) 维 可 换 左 超 对 称代 数  4 7   代数 分 类  ]  罗列 如下  , ( A  I)   A6 一< P 1 , e 2 } e i e 』 一瓯P   , i ,  一1 , 2 >;   1  1 =e 1, P 1  2 =g 2  1 = 2, P 2  2 = O二 >;   ( A  1 I )  A6= < g l’ g 2   P A 一 <   1,  2   ( AU I )   1   l —e 1 , e 1   2 一e 2  1 =P 2 P 2 =O > ;   A6   <P 1, P 2   e 1  1 = 1  2 = z  1 = = = P z P 2 :O > ;   ( Al V)   A  =<e 1 ,   2   ( A V)   1   l =  2 , e 1   2 =  2  l =  =O >.   0A T维可 换左 超对 称代数 , d


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