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[K12配套]2018_2019版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式试题新人教A版选修4_5

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三 排序不等式
课后篇巩固探究 A组
1.顺序和 S、反序和 S'、乱序和 S″的大小关系是( )

A.S≤S'≤S″ B.S≥S'≥S″

C.S≥S″≥S' D.S≤S″≤S'

解析由排序不等式可得反序和≤乱序和≤顺序和.

答案 C

2.设 x,y,z 均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则 P 与 Q 的大小关系是( )

A.P≥Q

B.P>Q

C.P≤Q D.P<Q

解析不妨设 x≥y≥z>0,则 x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为 P,乱序和为 Q,则 P≥Q.

答案 A

3.若 a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是( )

A.ax+cy+bz B.bx+ay+cz

C.bx+cy+az D.ax+by+cz

解析∵a<b<c,x<y<z,

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由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,

得顺序和 ax+by+cz 最大.故选 D.

答案 D

4.若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是( )

A.a1b1+a2b2

B.a1a2+b1b2

C.a1b2+a2b1

D.

解析∵a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,

∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.

且 a1b1+a2b2> >a1b2+a2b1.

又 1=a1+a2≥2

,∴a1a2≤ .

∵0<a1<a2,∴a1a2< .同理 b1b2< ,

∴a1a2+b1b2<

.

∴a1b1+a2b2> >a1a2+b1b2,

∴a1b1+a2b2 最大.

答案 A

5.已知 a,b,c∈R+,则 a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)( )

A.大于零

B.大于或等于零

C.小于零

D.小于或等于零

解析设 a≥b≥c>0,则 a3≥b3≥c3,根据排序原理,

得 a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.

因为 ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,

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所以 a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.

所以 a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,

即 a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.

答案 B

6.设 a1,a2,a3,a4 是 1,2,3,4 的一个排序,则 a1+2a2+3a3+4a4 的取值范围是

.

解析 a1+2a2+3a3+4a4 的最大值为顺序和 12+22+32+42=30,最小值为反序和 1×4+2×3+3×2+4×1=20.

答案[20,30]

7.如图所示,在矩形 OPAQ 中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为 S1,空白部分的面积之和为 S2,则 S1

与 S2 的大小关系是

.

解析由题图可知,S1=a1b1+a2b2,而 S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得 S1≥S2. 答案 S1≥S2 8.若 a,b,c 为正数,求证 a3+b3+c3≥3abc. 证明不妨设 a≥b≥c>0,则 a2≥b2≥c2>0,
由排序不等式,得 a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2, 三式相加,得 2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2). 因为 a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac, 所以 2(a3+b3+c3)≥6abc, 即 a3+b3+c3≥3abc(当且仅当 a=b=c 时,等号成立).

9.设 a,b 均为正数,求证

.

证明不妨设 a≥b>0,则 a2≥b2>0, >0,

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由不等式性质,得

>0.

则由排序不等式,可得

,即

.

10.设 a,b,c 都是正数,求证 a+b+c≤

.

证明由题意不妨设 a≥b≥c>0.

由不等式的性质,知 a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.

根据排序原理,得 a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b. ①

又由不等式的性质,知 a3≥b3≥c3,且 a≥b≥c.

再根据排序原理,得 a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.



由①②及不等式的传递性,得 a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.

两边同除以 abc,得 a+b+c≤

(当且仅当 a=b=c 时,等号成立).

B组

1.设 a,b,c>0,则式子 M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab 与 0 的大小关系是( )

A.M≥0

B.M≤0

C.M 与 0 的大小关系与 a,b,c 的大小有关

D.不能确定

解析不妨设 a≥b≥c>0,则 a3≥b3≥c3,且 a4≥b4≥c4,则 a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.

又 a3≥b3≥c3,且 ab≥ac≥bc,

∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca

≥a3bc+b3ac+c3ab.

∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.

答案 A

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2.若 0<α <β <γ < ,F=sin α cos β +sin β cos γ +sin γ cos α - (sin 2α +sin 2β +sin 2γ ), 则( )

A.F>0

B.F≥0

C.F≤0

D.F<0

解析因为 0<α <β <γ < , 所以 0<sin α <sin β <sin γ ,0<cos γ <cos β <cos α , 由排序不等式可知, sin α cos β +sin β cos γ +sin γ cos α >sin α cos α +sin β cos β +sin γ cos γ ,

而 F=sin α cos β +sin β cos γ +sin γ cos α - (sin 2α +sin 2β +sin 2γ )

=sin α cos β +sin β cos γ +sin γ cos α -(sin α cos α +sin β cos β +sin γ cos γ )>0.

答案 A

3.

导学号 26394057 车间里有 5 台机床同时出了故障,从第 1 台到第 5 台的修复时间

依次为 4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产 1 min 损失 5 元,经合理安排损失最

少为( )

A.420 元

B.400 元

C.450 元

D.570 元

解析设从第 1 台到第 5 台的修复时间依次为 t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第 1 台到第 5 台的顺序修复, 则修复第一台需要 t1 分钟,则停产总时间为 5t1,修复第 2 台需要 t2 分钟,则停产总时间为 4t2,…,修 复第 5 台需要 t5 分钟,则停产总时间为 t5,因此修复 5 台机床一共需要停产的时间为 5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使 5t1+4t2+3t3+2t4+t5 取最小值.由排序 不等式可知,当 t1<t2<t3<t4<t5 时,5t1+4t2+3t3+2t4+t5 取最小值,最小值为 5×4+4×5+3×6+2×8+10=84 分钟,故损失最小为 84×5=420 元.

答案 A

4.

导学号 26394058 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边依次为 a,b,c,试比较

的大小关系.

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解不妨设 a≥b≥c,则有 A≥B≥C. 由排序不等式,可得 aA+bB+cC≥aA+bC+cB, aA+bB+cC≥aB+bA+cC, aA+bB+cC≥aC+bB+cA. 将以上三个式子两边分别相加,得 3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π .

所以

.

5.

导学号 26394059 设 x>0,求证 1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

证明当 x≥1 时,因为 1≤x≤x2≤…≤xn,

所以由排序原理得 1·1+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥1·xn+x·xn-1+…+ ·x+xn·1,

即 1+x2+x4+…+ ≥(n+1)xn.



又 x,x2,…,xn,1 为序列 1,x,x2,…,xn 的一个排列,

所以 1·x+x·x2+…+xn-1xn+xn·1≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,

因此 x+x3+…+ +xn≥(n+1)xn,



①+②,得 1+x+x2+…+ ≥(2n+1)xn. ③ 当 0<x<1 时,1>x≥x2≥…≥xn,①②仍成立,

故③也成立.综上,原不等式成立.

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